精确分析复杂的递推关系(多项式函数)
设置a(n)=5*a(n-1)+3^n+7^n,按照以前的相同的处理方式有：
a(n-1)=5*a(n-2)+3^(n-1)+7^(n-1)
Go
上面两个式子(1)-7*(2)有：
a(n)-7*a(n-1)=5*{ a(n-1)- 7* a(n-2) } + 3^n - 7* 3^(n-1)
化简有：
a(n)-7*a(n-1)=5*{ a(n-1)- 7* a(n-2) } + - 4* 3^(n-1)
从这里可以看出其中将只存在一个多项式函数，按照这种思维可以获得a(n)的通项公式：
a(n)=A*7^n+B*5^n+C*3^n
现在假设初始值a(1)=1,推理有a(2)=63,a(3)=685
所以可以解得
A=7/2
B=-19/5
C=-3/2
下面写程序来证明：
(defun pow (num count)
(if (or (> count 1) (eq count 1) )
(* num
(pow num
(- count 1) ) )
1))
(defun slayer ( count)
(if (or (> count 1) (eq count 1) )
(* count
(slayer
(- count 1) ) )
1))
(defun expr (n)
(if (eq n 1)
1
(+ (* 5
(expr (- n
1)))
(pow 3
n)
(pow 7
n))))
(setq A 7/2)
(setq B -19/5)
(setq C -3/2)
(defun formula (n)
(+ (* A
(pow 7 n))
(* B
(pow 5 n))
(* C
(pow 3 n))))
(defun test (n)
(if (> n 0)
(progn
(print (expr n))
(print 'compare)
(print (formula n))
(test (- n 1)))
(print 'over)))
[31]> (test 10)
951465423
COMPARE
951465423
133786225
COMPARE
133786225
18682587
COMPARE
18682587
2582245
COMPARE
2582245
351303
COMPARE
351303
46585
COMPARE
46585
5907
COMPARE
5907
685
COMPARE
685
63
COMPARE
63
1
COMPARE
1
OVER
OVER
很明显这里A占据主要位置，并且B,C都为负数，7的指数的增长速度也快于其它两者。
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