一、随机事件和概率

1：互斥，对立，独立事件的定义和性质。

$$\text{互斥事件}$$
事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。也可叙述为：不可能同时发生的事件。如A∩B为不可能事件（A∩B=Φ），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。

则P(A+B)=P(A)+P(B)（这个公式何时成立在我一面thu叉院的时候被问到过，我神tm就答了一个相互独立/(ㄒoㄒ)/~~）且P(A)+P(B)≤1

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$$\text{对立事件}$$

若A交B为不可能事件，A并B为必然事件，那么称A事件与事件B互为对立事件，其含义是：事件A和事件B必有一个且仅有一个发生。

对立事件概率之间的关系：P(A)+P(B)=1。例如，在掷骰子试验中，A={出现的点数为偶数}，b={出现的点数为奇数}，A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，所以A与B互为对立事件。

互斥事件与对立事件两者的联系在于：对立事件属于一种特殊的互斥事件。

它们的区别可以通过定义看出来：一个事件本身与其对立事件的并集等于总的样本空间；而若两个事件互为互斥事件，表明一者发生则另一者必然不发生，但不强调它们的并集是整个样本空间。即对立必然互斥，互斥不一定会对立。

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$$\text{独立事件}$$

设A,B是试验E的两个事件,若$P(A)>0$,可以定义$P(B\mid A)$.一般A的发生对B发生的概率是有影响的,所以条件概率$P(B\mid A)\ne P(B)$,而只有当A的发生对B发生的概率没有影响的时候（即A与B相互独立）才有条件概率$P(B\mid A)=P(B)$.这时,由乘法定理$P(A\cap B)=P(B\mid A)P(A)=P(A)P(B).$

定义:设A,B是两事件,如果满足等式$P(A\cap B)=P(AB)=P(A)P(B)$,则称事件A,B相互独立,简称A,B独立.

容易推广:设A,B,C是三个事件,如果满足$P(AB)=P(A)P(B)$,$P(BC)=P(B)P(C)$,$P(AC)=P(A)P(C)$,$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$,则称事件A,B,C相互独立

更一般的定义是,$A1,A2,\dots \dots ,An$是$n(n\ge 2)$个事件,如果对于其中任意2个,任意3个,…任意n个事件的积事件的概率,都等于各个事件概率之积,则称事件$A1,A2,\dots ,An$相互独立

2：概率，条件概率和五大概率公式

$$\text{概率公理与条件概率}$$

什么是概率？设实验E的样本空间为$\Omega$，则称实值函数$P$为概率，如果$P$满足下列三个条件

1. 对于任意事件A，满足$P(A）\ge 0$
2. 对于必然事件$\Omega$有$P(A)=1$
3. 对于两两互斥的可数无穷个事件$A_1,A_2,...,A_N...$，有
   $$P(A_1\cup A_2\cup ...\cup A_N\cup ...)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_N)+...$$

什么是条件概率？设$A,B$为两个事件，且$P(A)>0$，称
$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

$$\text{五大概率公式}$$

• 加法公式：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC).
• 减法公式：$P(A-B)=P(A)-P(AB)$
• 乘法公式：当$P(A)>0$时，$P(AB)=P(A)P(B|A)$
• 全概率公式：设$B_1,B_2,...,B_n$为样本区间内概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件$A$，有$P(A)={\sum }_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$。
• 贝叶斯公式：设$B_1,B_2,...,B_n$为样本区间内概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件$A$且$P(A)>0$，有
  $$P(B_j|A)=\frac{P(B_j)P(A)}{P(A)}=\frac{P(B_j)P(A|B_j)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)}$$

3：古典型，几何型概率和伯努利试验

$$\text{古典型-能通过样本点数出来的概率}$$

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$$\text{几何型：通过几何度量计算的概率}$$

$$\text{伯努利试验：独立重复实验}$$

伯努利试验（Bernoulli experiment）是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。我们假设该项试验独立重复地进行了n次，那么就称这一系列重复独立的随机试验为n重伯努利试验，或称为伯努利概型。单个伯努利试验是没有多大意义的，然而，当我们反复进行伯努利试验，去观察这些试验有多少是成功的，多少是失败的，事情就变得有意义了，这些累计记录包含了很多潜在的非常有用的信息。

4：易错问题汇总

• $P(A\cup B)=1$不能推出$A\cup B=\Omega$，同样$P(AB)=0$也不能推出$AB=\varnothing$。这两个关系只能从右往左推，仅给出概率是得不到事件的结论的。

二、随机变量及其分布

1：随机变量及其分布函数

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$$\text{随机变量}$$
在样本空间$\Omega$上的实值函数$X=X(\omega ),\omega \in \Omega$称为随机变量，简记为$X$。随机变量不是一个变量，而是实值函数。
$$\text{分布函数}$$

分布函数（英文Cumulative Distribution Function, 简称CDF），是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

分布函数$F(x)$是定义在$(-\infty ,\infty )$上的一个实值函数，$F(x)$的值等于随机变量$X$在区间$(-\infty ,x]$上取值的概率，即事件$X\le x$的概率：
$$F(x)=P(X\le x),x\in (-\infty ,\infty )$$

分布函数的性质主要有三条，单调不减，负无穷收敛到0${\lim }_{x\to +\infty }F(x)=1$，正无穷收敛到1。右连续性$F(x+0)=F(x)$.

这三个条件同样是$F(x)$成为某一随机变量的分布函数的充分必要条件。

分布函数的定义对于离散型随机变量和连续型随机变量都是一致的，但是对于连续型随机变量而言，他还有概率密度

把随机变量的概率分布表推广到无限情况，就可以得到连续型随机变量的概率密度函数。 此时，随机变量取每个具体的值的概率为0，但在落在每一点处的概率是有相对大小的，描述这个概念的，就是概率密度函数。 你可以把这个想象成一个实心物体，在每一点处质量为0，但是有密度，即有相对质量大小，他有以下两条主要的性质。

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2：常用分布

$$\text{伯努利分布（0-1分布）}$$
$0—1$分布就是$n=1$情况下的二项分布。即只先进行一次事件试验，该事件发生的概率为$p$，不发生的概率为$1-p$。这是一个最简单的分布，任何一个只有两种结果的随机现象都服从$0-1$分布。

$$\text{二项分布}$$

一般地，如果随机变量$X$有分布律

则称$X$服从参数为$n$和$p$的二项分布，我们记为$X\sim B(n,p)$或$X\sim b(n,p)$。

含义：在$n$次独立重复的伯努利试验中，若每次实验的成功率为$p$，则在$n$次独立重复实验种成功的总次数$X$服从二项分布。当$n=1$时，二项分布退化为$0-1$分布。
$$\text{几何分布}$$
如果随机变量$X$的分布律为：

则称$X$服从参数为$p$的几何分布。

含义：在$n$次伯努利试验中，试验$k$次才得到第一次成功的机率服从几何分布
$$\text{超几何分布}$$
如果随机变量$X$的分布律为：

则称$X$服从参数为$n，N，M$的超几何分布。

含义：如果$N$件产品中含有$M$件次品，从中任意一次取出$n$件（不放回依次取出$n$件），另$X$=抽取的$n$件产品中的次品件数，则$X$服从参数为$n，N，M$的超几何分布。

如果有放回的取$n$次，那么服从$B(N,\frac{M}{N})$。

$$\text{泊松分布}$$
如果随机变量$X$的分布律为：

则称$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim P(\lambda )$。

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率$\lambda$（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布$P(\lambda )$。
$$\text{指数分布}$$
连续型均匀分布：如果连续型随机变量$X$具有如下的概率密度函数，

则称$X$服从 $[a,b]$上的均匀分布（uniform distribution），记为$X\sim U(a,b)$。

$$\text{正态分布}$$
如果随机变量$X$的概率密度为：

其中$\mu ,\sigma$为常数而且$\sigma >0$，则称$X$服从参数为$\mu ,\sigma$的正态分布，记作$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。当$\mu =0,{\sigma }^2=1$时，称$X$服从标准正态分布。

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三、多维随机变量及其分布

1-二维随机变量及其分布

$$\text{二维随机变量}$$
设$X=X(=\omega )$，$Y=Y(\omega )$是定义在样本空间$\Omega$上的两个随机变量，则称向量$(X,Y)$为二维随机变量或者随机向量。
$$\text{二维随机变量的分布}$$
$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$，该分布具有如下的性质

• 对任意的$x,y$,$0\le F(x,y)\le 1$
• $F(-\infty ,y)=F(x,-\infty )=F(-\infty ,-\infty )=0,F(+\infty ,+\infty )=1$
• $F(x,y)$关于$x,y$均单调不减而且右连续。
• $P(a<X\le b,c<Y\le d)=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)$
  $$\text{二维随机变量的边缘分布}$$
  设二维随机变量$(X,Y)$的分布函数如上，那么称$F_X(x)=P(X\le x),F_Y(y)=P(Y\le y)$为$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘分布函数。

边缘分布与二维随机变量分布函数的关系为：

$$F_X(x)=P(X\le x)=P(X\le x,Y<+\infty )=F(x,+\infty )$$
$$\text{二维连续型随机变量的概率密度}$$

2-随机变量的独立性

如果对于任意$x,y$，都有
P ( X ≤ x , Y ≤ y ) = P { X ≤ x } P { Y ≤ y } P(X\leq x,Y\leq y)=P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\} P(X≤x,Y≤y)=P{ X≤x}P{ Y≤y}
即$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称随机变量$X$与$Y$相互独立。

$$\text{随机变量相互独立的充要条件}$$

1. 离散型随机变量$X$和$Y$相互独立的充要条件：对任意$i,j=1,2,..,$有 P { X = x i , Y = y i } = P { X = x i } P { Y = y i } P\{X=x_i,Y=y_i\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_i\} P{ X=xi​,Y=yi​}=P{ X=xi​}P{ Y=yi​}，即$p_{ij}=p_i{p}_j$
2. 连续型随机变量$X$,$Y$相互独立的充要条件：对于任意的$x,y$，有$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。可将两个随机变量的独立性推广到两个以上随机变量的情形。

3-两个随机变量$Z=g(X,Y)$的分布

当$X,Y$为离散型随机变量时，$Z$的分布律与一维离散型类似。

当$X,Y$为连续型随机变量时，$F_Z(z)$的求法，可以用公式

F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = P { g ( X , Y ) ≤ z } = ∫ ∫ g ( X , Y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P(Z\leq z)=P\{g(X,Y)\leq z\}=\int\int_{g(X,Y)\leq z} f(x,y)dxdy FZ​(z)=P(Z≤z)=P{ g(X,Y)≤z}=∫∫g(X,Y)≤z​f(x,y)dxdy

四、随机变量的数字特征

1：随机变量的数学期望

$$\text{数学期望}$$

• 离散型随机变量：设随机变量$X$的概率分布为 P { X = x k } = p k P\{X=x_k\}=p_k P{ X=xk​}=pk​，如果级数${\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$绝对收敛，则称此级数为随机变量$X$的数学期望或均值，记作$E(X)$。
  连续型随机变量，$f(x)$为随机变量$X$的概率密度，那么他的数学期望为${\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$

$$\text{数学期望的性质}$$

• 设C是常数,X是随机变量，那么$E(C)=C$，$E(CX)=CE(X)$
• 设$X,Y$是任意两个随机变量，那么$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$。
• 设$X,Y$是任意两个随机变量，那么$E(XY)=E(X)E(Y)$当且仅当二者不相关。

$$\text{随机变量X的函数Y=g(X)的数学期望}$$
建议看一篇好文：https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/11088669.html

• 离散性随机变量：$E(g(X))={\sum }_{i=1}^{\infty }g(x_i)p_i$,$p_i$是$x_i$出现的概率
• 连续型随机变量：$E(g(X))={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$,$f(X)$是$X$的概率密度。

$$\text{随机变量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的数学期望}$$

• 离散性随机变量：$E(g(X,Y))={\sum }_{i=1}^{\infty }{\sum }_{j=1}^{\infty }{p}_{i,j}g(x_i,y_j)$，其中$p_{i,j}=P(X=x_i,Y=y_j)$。
• 连续型随机变量：$E(g(X,Y))={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y)dxdy$,$f(X,Y)$是$Z$的概率密度。

2：随机变量的方差

• 随机变量$X$的方差定义为 D ( X ) = E { [ X − E ( X ) ] 2 } D(X)=E\{[X-E(X)]^2\} D(X)=E{ [X−E(X)]2}
• 方差计算公式：$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$
• 方差的性质：(1)常数的方差为0.（2）$D(aX+b)=a^{2}D(X)$。(3)$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$成立的充要条件是$X,Y$不相关。

3：常用随机变量的数学期望和方差

4：矩、协方差和相关系数

通俗易懂地解释「协方差」与「相关系数」的概念。

这里需要注意的是两个随机变量不相关，这是区别于独立，互斥的另一种关系，不相关的充要条件是两个随机变量的相关系数${\rho }_{XY}=0$。如果两个变量独立，那么相关系数一定为0，但是相关系数为0是线性不相关，不能推出两变量相互独立。

五、理解大数定律和中心极限定律

1:大数定律和中心极限定理的区别和联系

这里主要是理解，我就不摆公式了，

在统计活动中，人们发现，在相同条件下大量重复进行一种随机实验时，一件事情发生的次数与实验次数的比值，即该事件发生的频率值会趋近于某一数值。重复次数多了，这个结论越来越明显。这个就是最早的大数定律。一般大数定律讨论的是n个随机变量平均值的稳定性。

而中心极限定理则是证明了在很一般的条件下，n个随即变量的和当n趋近于正无穷时的极限分布是正态分布。（对，就是它，跟我念，正态分布！O.O哎，哪里都有它，记住记住。）

一句话解释：大数定律讲的是样本均值收敛到总体均值，说白了就是期望，如图一样：

而中心极限定理告诉我们，当样本足够大时，样本均值的分布会慢慢变成正态分布，对，就是如图这个样子：

上面是区别，那么联系根据区别也能看出来，都总结的是在独立同分布条件下的随即变量平均值的表现。

2:简单总结他们的作用

我们假设有n个独立随机变量，令他们的和为：

$$S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$$
那么大数定律（以一般的大数定律为例），它的公式为：

$$\frac{S_n}{n}-E(X)\to 0$$
而中心极限定理的公式为：

$$\sqrt{n}(\frac{S_n}{n}-E(X))\to N(0,\sum )$$

注意：上面两个公式，一个是值为0，一直均值为0的正太分布；而左边极为相似！但不一样的。第二个公式比第一个公式多了$\sqrt{n}$，所以你就记住这条就不会混乱了，来，跟我念一遍：“差了个$\sqrt{n}$！”

六、参数估计

1：点估计

总体分布的参数在很多情况下是未知的，如均值$\mu$、方差${\sigma }^2$、泊松分布的$\lambda$、二项分布的比例$\pi$，其它分布还会有更多的未知参数，需要通过样本进行相应的估计，这种估计值就是点估计。

点估计的评价：

无偏性：如果参数估计值的数学期望等于被估计的参数值$E(\theta \widehat{)}$，则称此估计量为无偏估计。与此相反则称为有偏估计。

有效性：当一个参数有多个无偏估计时，估计方差越小则越有效。

相合性(一致性)：如果随着样本量增大，参数的估计量趋于被估计的参数值。

2：矩估计

矩估计，即矩估计法，也称“矩法估计”，就是利用样本矩来估计总体中相应的参数。首先推导涉及感兴趣的参数的总体矩（即所考虑的随机变量的幂的期望值）的方程。然后取出一个样本并从这个样本估计总体矩。接着使用样本矩取代（未知的）总体矩，解出感兴趣的参数。从而得到那些参数的估计。

矩法估计原理简单、使用方便，使用时可以不知总体的分布，而且具有一定的优良性质（如矩估计为Eξ的一致最小方差无偏估计）。矩法估计量实际上只集中了总体的部分信息，这样它在体现总体分布特征上往往性质较差，只有在样本容量n较大时，才能保障它的优良性,因而理论上讲，矩法估计是以大样本为应用对象的。

用样本矩作为相应的总体矩估计来求出估计量的方法.其思想是：如果总体中有 $K$个未知参数，可以用前 $K$阶样本矩估计相应的前$K$阶总体矩，然后利用未知参数与总体矩的函数关系，求出参数的估计量。即有多少未知参数，就利用矩列几个方程。

令样本的$l$阶原点矩为$A_l=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^l$，而每阶矩肯定也是$X$分布中未知参数${\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_n$的函数，即
$${\alpha }_l({\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_n)=A_l，l=1,2,...,k$$

3：最大似然估计

极大似然估计，通俗理解来说，就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值！

最大似然估计，只是一种概率论在统计学的应用，它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次试验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。最大似然估计是建立在这样的思想上：已知某个参数能使这个样本出现的概率最大，我们当然不会再去选择其他小概率的样本，所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。

求最大似然函数估计值的一般步骤：
（1） 写出似然函数
（2） 对似然函数取对数，并整理
（3） 求导数
（4） 解似然方程