线性卷积、周期卷积、圆周卷积------一篇弄懂-程序员宅基地

技术标签： DSP  

谈到DSP，几个“卷积”总是要弄清楚的。这里我们讨论的是离散时间序列。本篇主要讲解几种“卷积”的定义及运算，定义理解上通俗易懂，例子也能举一反三。

卷积

  • 什么是卷积？
    如（4）式，为卷积运算。我们设离散时间序列x(n)通过离散时间线性移不变系统（LSI系统）T，如图1，那么产生的响应y(n)=T[x(n)]。通过式（1）、（2）的运算，我们可以知道：
    • （1）式表示冲击序列δ(n)的定义
    • （2）式说明x(n)可以看作许多冲击序列的和，比如x(n)={ 1,2,3,4}，则x(n)=δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)+4δ(n-3)，这个很好理解。
    • （3）式为卷积运算的推导，其中中T为系统，T[x(n)]即为输出，h(n)=T[δ(n)]为单位冲激响应。
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图1

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  • 卷积有什么用？
    我们知道自然界有很多信号，信号携带着信息，那么如何获取这些有用的信息呢？答案是设计信号处理的系统。在设计之前，我们就必须弄明白信号与系统的关系。当然这些理论是完备的：对于线性移不变系统，输入序列总可以看作许多个冲击序列之和，通过运算，我们可以知道输入输出满足一个重要的关系：输出等于输入与系统单位冲激响应的卷积。说到底，卷积只是我们定义的一种运算，知道输入和系统单位冲激响应，我们就可以算出系统的输出。

既然卷积运算作用这么大，那么它的计算方法也是很重要的，根据x(n)的是否是周期的，我们又定义了线性卷积、周期卷积、圆周卷积，它们的计算方法联系紧密。因为卷积这种运算具有普适性，我们就可以计算任意两个序列的卷积，在这里每一种卷积我列出常用的两种计算方法。在后面的例子当中，我们均以x1(n)={ 1,2,3,4}，x2(n)={ 1,2,3}为例。

线性卷积

  • 定义
    直接由（5）式计算即为线性卷积。适用范围：两个序列均为离散非周期序列。

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  • 适用范围
    两个序列均为离散非周期序列。

  • 图解法
    概括一下就是“翻褶”、“移位”、“相乘”、“相加”。下面是图解过程。

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  • 对位相乘法
    将两个序列右端对齐，对位相乘，然后相加，不进位。所得序列的起点位置由卷积的两个序列范围确定。运算过程如下：

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周期卷积

  • 定义
    直接由（6）式计算即为周期卷积。顾名思义，两个周期序列才可以进行周期卷积，并且周期要一样。如果两个序列不是周期序列，我们就将其周期延拓。接下来我们作x1(n)和x2(n)四点的周期卷积。

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  • 图解法

x1((m))表示周期延拓，我们只考虑一个周期里的运算，可以得到一个周期的y(n)，将y(n)周期延拓便能得到最后结果。

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  • 利用线性卷积求解
    如下，将线性卷积结果第四位后面的值补到前面相加，得到一个周期内的值，将y(n)周期延拓便能得到最后结果。

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圆周卷积

  • 定义
    直接由（7）式计算即为圆周卷积。其实很好理解，圆周卷积和是以L为周期的周期卷积和的主值序列。运算方法与周期卷积类似，它是具有隐含的周期性的。至于为什么叫“圆周”卷积？我们由周期卷积的图解法可以看出，x2(n-(m))主值区间里的几个数始终在循环移位，相当于在圆周上移位，所以如果只考虑一个周期的话，我们通过圆周翻褶和圆周移位同样可以达到周期卷积的效果。
    在这里插入图片描述

  • 运算方法
    参考周期卷积的运算方法，其中图解法不用作周期延拓只取主值区间计算。

  • 与线性卷积的关系
    圆周卷积可以利用线性卷积求解，当圆周卷积的长度大于等于线性卷积结果的长度，圆周卷积结果就可以代表线性卷积结果。

  
  
 

总结一下，周期卷积就是两周期序列的线性卷积，圆周卷积就是周期卷积取主值区间，引入“圆周”可以简化概念和运算。

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参考：
线性卷积、周期卷积、圆周卷积的异同
三种常见的卷积概述（线性卷积周期卷积圆周卷积
哈尔滨工程大学数字信号处理教程：第28讲，圆周卷积和线性卷积
“卷积”其实没那么难以理解
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