1 叶轮设计计算

1.10 绘制轴面流线

按照一元理论，速度沿同一过水断面均匀分布，这样只要把总的过水断面分成3~5个相等的小过水断面即可。为简单起见，这里仅划分3个，即前盖板、后盖板和中间流线。

需要特别注意的是前面提到的中间流线与流道中线的区别，流道中线是内切圆圆心的拟合曲线，而中间流线则是把过流断面（空间上是个曲面圆环，轴面投影上是个圆弧）分成了面积相等的两部分的各个点的拟合线。

对于出口边，因为出口边是平行的，直接中点均分就好了。对于进口边，将其延长到垂直段，那么采用下式来分
$$R_i=\sqrt{\frac{(R_j^2-R_h^2)}{n}+R_h^2}$$其中$R_j$和$R_h$分别为进口半径和轮毂半径，$n$为等分的流道个数，$i$为流线序号。如果仅仅划分一条中间流线，则中线半径为
$$R_i=\sqrt{\frac{(R_j^2+R_h^2)}{2}}$$有了进出口的分点，接下来就可以画出各条轴面流线了。划分的各个小的过水断面应该满足$\Delta F_i=2\pi R_{ci}{b}_i$，即沿着同一过水断面应满足$R_{ci}{b}_i=const$。其中$b_i$为过水断面弧长，而$R_{ci}$为该弧形心到轴线的距离，与前面的整体过水断面一样一样的。

该划分过程若手动进行，则误差会较大，应该整个表逐个计算下，将其误差控制在3%以内。

建议还是编写个程序进行，对上一步骤的内切圆所画的过水断面进行逐个划分即可，用matlab编写个小程序就妥妥的了。程序思路非常简单，就是沿着圆弧用小增量慢慢向前找点，直到该点处所划分的两条弧满足上述条件为止或者误差很小为止。也可以将圆弧方程给出为$R({\theta }_1\sim {\theta }_2)$的形式，然后中间点为${\theta }_0$，列出来个方程去迭代求解${\theta }_0$，即可得到中间点的坐标。

matlab辅助小程序的思路如下：

1. 输入变量，圆弧的圆心坐标$Ox$和$Oy$，圆弧起始点坐标$Ax$和$Ay$，圆弧的终结点坐标$Bx$和$By$，可由圆弧特性查询而得。也可以用AutoCAD的数据提取将这些信息批量提取出来。
2. 首先，计算圆弧半径$R$，起始点的起始角度${\theta }_1$和终结点的终结角度${\theta }_2$。
3. 然后执行如下迭代计算。划分系数$\alpha$的范围为$0\sim 1$，初值为$0.5$，然后用$\alpha$划分圆弧，分别计算上下两段圆弧的长度和形心距离轴线的长度，圆弧的形心坐标计算方法如图所示。
   
4. 然后，计算两段小圆弧的弧长与形心距离轴线长度的乘积，看其是否相等，如果不等，依据情况调整$\alpha$的范围，逐次迭代直到$\alpha$的范围已经非常小即可，实际上就是经典的二分法，算法虽然粗暴简单不计效率，然而对于简单的问题却行之有效屡试不爽。

将划分好的中间流线拟合点点到AutoCAD中去，然后拟合成一条光滑曲线，即可完成中间流线划分工作！

注意：
如果一个点一个点在AutoCAD当中绘制也是相当麻烦的，所以最后让程序输出了一个midStreamLinePoints.txt文件，格式为：

point空格X1,Y1
point空格X2,Y2
…
point空格Xn,Yn

这样子直接把上述文字复制到AutoCAD的命令窗里面去就一次性把这些点全部绘制出来了！

序号	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
划分比例${\alpha }_i$	0.2929	0.3155	0.3459	0.3808	0.4153	0.4461	0.4716	0.4904	0.4955	0.4968	0.4980	0.4991	0.4994
划分点$x_i(mm)$	0	16.9177	25.2841	32.7583	39.9454	46.5210	52.0707	55.9143	56.8728	57.7358	58.5635	59.3264	60.0091
划分点$y_i(mm)$	38.8909	38.8206	39.2494	41.0530	44.6184	50.2178	58.2140	69.7861	77.0126	85.3501	95.4029	109.0135	127.3881
$F_1=2\pi R_{c1}{b}_1(m{m}^2)$	4752	12867	10870	11183	12029	13524	16208	18147	24906	29664	37903	59144	66513
$F_2=2\pi R_{c2}{b}_2(m{m}^2)$	4752	12867	10870	11183	12029	13524	16208	18147	24906	29664	37903	59144	66513

附上matlab程序源码：

% 2016-11-03
% 中间流线分点计算，二分法
% 读入上一部排好序的过流断面轴面投影圆弧的信息，进口垂直线到出口水平线排列
% 半径	起点角度	长度	中心 X	中心 Y	总角度

a = load('FlowSection2DArcInformation.txt');

dhHalf = 0;         % 轮毂直径的一半

MidStreamLinePointXYAphF = zeros(size(a, 1), 5);

for idx = 1: size(a, 1)
    
    R = a(idx, 1);      % 圆弧的半径
    T1 = a(idx, 2);     % 圆弧起点角度（Ox轴为起始位置，逆时针旋转）
    dT = a(idx, 6);     % 圆弧包含的总体角度
    Ox = a(idx, 4);     % 圆弧圆心的x坐标
    Oy = a(idx, 5);     % 圆弧圆心的y坐标    
    
    T1 = T1 * pi / 180;   % 转化为弧度
    dT = dT * pi / 180;
    T2 = T1 + dT;       % 圆弧终止角角度
    
    AphUp = 1.0;        % 前盖板切点至划分点的弧长占总弧长比例的上限与下限
    AphDwn = 0;
    
    for j = 1: 30
        
        Aph = (AphUp + AphDwn) / 2; % 中间比值

        % 上下两段圆弧的形心
        dT1_half = Aph * dT / 2;        % 上半段圆弧整体角度的一半
        OC1 = R * sin(dT1_half)/(dT1_half); % 上半段圆弧形心到圆心的距离
        C1x = Ox + OC1 * cos(T1 + dT1_half);   % 上半段圆弧形心坐标x
        C1y = Oy + OC1 * sin(T1 + dT1_half);   % 上半段圆弧形心坐标y
        
        dT2_half = (1 - Aph) * dT / 2;
        OC2 = R * sin(dT2_half) / dT2_half;        
        C2x = Ox + OC2 * cos(T2 - dT2_half);
        C2y = Oy + OC2 * sin(T2 - dT2_half);

        % 上下两端圆弧弧长绕轴心转一圈形成的空间环面的面积，即过流断面面积
        % 考虑到仅需比较大小，故未乘上2*pi*R
        F1 = Aph * (C1y - dhHalf);
        F2 = (1-Aph) * (C2y - dhHalf);
        
        % 视情况调整比值的上下限
        if (F1 > F2)
            AphUp = Aph;
        else
            AphDwn = Aph;
        end

    end

    Cx = Ox + R * cos(T1 + Aph*dT);
    Cy = Oy + R * sin(T1 + Aph*dT);

    MidStreamLinePointXYAphF(idx, :) = [Cx, Cy, Aph, 2*pi*F1, 2*pi*F2];

end

save MidStreamLinePointXYAphF_Output.txt MidStreamLinePointXYAphF -ascii

[~, idx] = sort(MidStreamLinePointXYAphF (:, 2));
PointXYAphF = MidStreamLinePointXYAphF (idx, :);

fid = fopen('midStreamLinePoints.txt', 'wt');
for j = 1: size(PointXYAphF, 1)
    fprintf(fid, 'point %d,%d\n', PointXYAphF(j, 1:2));
end
fclose(fid);

输入文件FlowSection2DArcInformation.txt如下（第一行的信息栏已经删掉，以便用load读入该数据，信息栏为“半径 起点角度 长度 中心 X 中心 Y 总角度”）：
2.4892770e+02 1.8000000e+02 5.3789700e+01 2.5814720e+02 5.5000000e+01 1.2380799e+01
1.3839560e+02 1.8000000e+02 5.1400900e+01 1.5436430e+02 5.5000000e+01 2.1279966e+01
1.1218870e+02 1.8224783e+02 4.9196200e+01 1.3181180e+02 5.9419500e+01 2.5124950e+01
1.0573280e+02 1.8739029e+02 4.7200200e+01 1.2679900e+02 6.8807800e+01 2.5577432e+01
1.0042210e+02 1.9256767e+02 4.5220100e+01 1.2218460e+02 7.7450100e+01 2.5800302e+01
9.6055900e+01 1.9783057e+02 4.3254000e+01 1.1782590e+02 8.5613500e+01 2.5800302e+01
9.2516200e+01 2.0323083e+02 4.1300200e+01 1.1360510e+02 9.3518700e+01 2.5577432e+01
8.9750900e+01 2.0882576e+02 3.9357000e+01 1.0941250e+02 1.0137090e+02 2.5124950e+01
8.7773100e+01 2.1468333e+02 3.7422600e+01 1.0513160e+02 1.0938870e+02 2.4428426e+01
8.6676800e+01 2.2088970e+02 3.5495500e+01 1.0061920e+02 1.1783980e+02 2.3463495e+01
8.6684100e+01 2.2756194e+02 3.3573900e+01 9.5672900e+01 1.2710370e+02 2.2191411e+01
8.8260900e+01 2.3487205e+02 3.1656200e+01 8.9961400e+01 1.3780080e+02 2.0550062e+01
9.2438700e+01 2.4309935e+02 2.9740800e+01 8.2847100e+01 1.5112500e+02 1.8434066e+01
1.0192340e+02 2.5276872e+02 2.7825900e+01 7.2799500e+01 1.6994300e+02 1.5642192e+01
1.0222640e+02 2.5650534e+02 2.5861200e+01 6.8118400e+01 1.7840920e+02 1.4494662e+01
1.0982120e+02 2.5852823e+02 2.3905200e+01 6.7838200e+01 1.9446050e+02 1.2471766e+01
1.2529710e+02 2.6096558e+02 2.1943700e+01 6.7391000e+01 2.2008170e+02 1.0034416e+01
1.6963710e+02 2.6425271e+02 1.9976900e+01 6.6379300e+01 2.7804240e+02 6.7472920e+00
1.8127080e+02 2.6500000e+02 1.8982600e+01 6.6013100e+01 2.9902050e+02 6.0000000e+00

输出文件MidStreamLinePointXYAphF_Output.txt如下：
9.7445601e+00 3.8840535e+01 3.0063061e-01 8.8623162e+01 8.8623162e+01
1.6917694e+01 3.8820608e+01 3.1549020e-01 9.2971144e+01 9.2971144e+01
2.1514781e+01 3.8904334e+01 3.2990068e-01 9.7298533e+01 9.7298533e+01
2.5283168e+01 3.9244970e+01 3.4585210e-01 1.0253189e+02 1.0253189e+02
2.9030950e+01 3.9940159e+01 3.6299460e-01 1.0879993e+02 1.0879993e+02
3.2740485e+01 4.1035388e+01 3.8063343e-01 1.1605740e+02 1.1605740e+02
3.6381357e+01 4.2570287e+01 3.9816459e-01 1.2429440e+02 1.2429440e+02
3.9915071e+01 4.4578899e+01 4.1509704e-01 1.3353557e+02 1.3353557e+02
4.3298440e+01 4.7092814e+01 4.3106565e-01 1.4384398e+02 1.4384398e+02
4.6484764e+01 5.0146887e+01 4.4583130e-01 1.5532995e+02 1.5532995e+02
4.9421849e+01 5.3789489e+01 4.5926981e-01 1.6817229e+02 1.6817229e+02
5.2045386e+01 5.8099091e+01 4.7135608e-01 1.8265959e+02 1.8265959e+02
5.4262600e+01 6.3216868e+01 4.8215219e-01 1.9928235e+02 1.9928235e+02
5.5910363e+01 6.9428640e+01 4.9181941e-01 2.1897890e+02 2.1897890e+02
5.6876475e+01 7.6802822e+01 4.9542544e-01 2.4209315e+02 2.4209315e+02
5.7740119e+01 8.5104546e+01 4.9679889e-01 2.6801969e+02 2.6801969e+02
5.8568963e+01 9.5095561e+01 4.9798054e-01 2.9924337e+02 2.9924337e+02
5.9334590e+01 1.0855164e+02 4.9904754e-01 3.4133018e+02 3.4133018e+02
5.9673514e+01 1.1786059e+02 4.9929755e-01 3.7052852e+02 3.7052852e+02

midStreamLinePoints.txt如下：
point 1.691769e+01,3.882061e+01
point 9.744560e+00,3.884054e+01
point 2.151478e+01,3.890433e+01
point 2.528317e+01,3.924497e+01
point 2.903095e+01,3.994016e+01
point 3.274049e+01,4.103539e+01
point 3.638136e+01,4.257029e+01
point 3.991507e+01,4.457890e+01
point 4.329844e+01,4.709281e+01
point 4.648476e+01,5.014689e+01
point 4.942185e+01,5.378949e+01
point 5.204539e+01,5.809909e+01
point 5.426260e+01,6.321687e+01
point 5.591036e+01,6.942864e+01
point 5.687647e+01,7.680282e+01
point 5.774012e+01,8.510455e+01
point 5.856896e+01,9.509556e+01
point 5.933459e+01,1.085516e+02
point 5.967351e+01,1.178606e+02